Nomenclature
scientifique
- fn,m l'image originale, inconnue, dont on va chercher à se rapprocher le plus possible
- gn,m l'image dégradée à partir de laquelle on doit travailler
- f^n,m l'image restaurée, qu'on souhaite déterminer
Définition du
médian
Définition du médian :
- La moyenne est la solution de la minimisation dans le cas linéaire, avec une norme quadratique.
- Tandis que le médian est la solution avec une norme simple (la valeur absolue est une norme simple), dans les cas non-linéaires.
Allure de J(x)
Les xk0≤k≤2K sont obtenus par rangement par ordre croissant des xk0≤k≤2K :
Définition du
filtre médian dans le cas du niveau de gris
Le filtre médian entre dans la catégorie des opérateurs de traitement d'image. Il est spécifiquement efficace contre du bruit poivre et sel dans des images à niveaux de gris. Son fonctionnement consiste à remplacer la valeur d'un pixel par la valeur médiane de la totalité des pixels de son voisinage. En ce qui concerne les images couleurs nous avons 2 filtres médians : vectoriel et marginal.
Une des propriétés fondamentales du filtre médian, est qu'il ne crée pas de nouvelles valeurs de niveaux de gris dans l'image. Voyons plus précisément son principe.
Principe du
filtre médian
Le principe du filtre Médian est souvent défini dans le cas d'une image discrète, dont l'implantation pratique est directe. A partir des concepts discrets, il est possible d'en donner une version continue, qui sera adapté à l'étude théorique de certaines de ses propriétés.
Considérons une image discrète F caractérisée par un niveau de gris f(x, y). Soit V (x0 , y0) le voisinage associé au point de coordonnées (x0 , y0); on suppose que ce voisinage comprend N pixels de coordonnées (x0−u, y0−v) avec N impair.
Soient { f1, f2, ... , fi, ... , fN−1, fN } les niveaux de gris associés aux N pixels de V (x0 , y0).
Le filtrage médian procède tout d'abord par un tri des valeurs de niveau de gris du voisinage suivi d'une sélection de l'élément milieu du tri. Le tri se fait par ordre croissant généralement. Il conduit à former l'ensemble ordonné des valeurs de gris du voisinage de f(x0 , y0). Les éléments ordonnés étant notés f(i), le tri croissant est caractérisé par :
f1 < f2 < ... < f (N+1)/2 < f N-1 < fN
L'élément médian du voisinage est f (N+1)/2. Sa propriété est d'être précédé par (N−1)/2 valeurs inférieures et suivi par autant de valeurs supérieures.
Le filtrage consiste à remplacer f(x0 , y0) par la valeur médiane du voisinage f (N+1)/2.
Quelques formules :
Exemple de fenêtre de travail
Propriétés et avantages du
filtre médian
- Linéarité du filtre Médian
- Aspects non-linéaires du filtre Médian ( voir formule (1) ci-dessous )
- Réponse impulsionnelle
- Respect des contours (selon la symétrie voir la formule (2) ci-dessous )
- Rejet des valeurs extrêmes
- Loi de composition
- Elimine les bruits impulsionnels
Quelques formules :
En revanche,
n'est pas vérifié, le filtrage médian n'est pas linéaire (1). C'est une opération non-linéaire appelée filtrage par abus de langage.
Le filtrage médian respect les contours, on suppose S symétrique :
Avantages et inconvénients du filtre médian
Limite du
filtre médian
Quatre conséquences importantes sont que, contrairement au lissage linéaire, ce filtre :
- produit un épaissisement des contours (schèma ci-dessus).
- s'avère inutile pour créer des dégradés dans une image dont les niveaux de gris ont été sous-quantifiés.
- ne peut pas restaurer une image en demi-ton, au contraire il accentuera l'effet de binarisation.
- peut s'appliquer aux images binaires (à deux valeurs), et le résultat restera une image binaire.
Filtre d'
ordre couleur
D’une manière générale, les filtres non-linéaires, en particulier les filtres basés sur l’ordre permettent d’obtenir un meilleur compromis que les filtres linéaires entre effet de lissage et préservation des contours. Il sont largement utilisés sur les images à niveau de gris, mais leur extension aux images couleur est délicate, car il n’existe pas d’ordre naturel sur un ensemble de vecteurs comme il en existe sur un ensemble de scalaires (figure ci-dessous).
Illustration de la difficulté d’ordonner des vecteurs
Ordre et
vecteurs
Il existe de nombreuses manières permettant de définir une relation d’ordre (notée ≤) sur l'ensemble des vecteurs qui constituent les pixels couleur d'une fenêtre de filtrage. Une solution consiste à définir une fonction h qui projette chaque vecteur :
On définit alors l’ordre sur IR3 par l’ordre des scalaires associés par la projection h :
Selon la définition choisie, on peut obtenir une relation d’ordre total (⇔ h bijective), une relation de pré-ordre ((X ≤ Y et Y ≤ X) ⇒ X = Y ) ou une relation d’ordre partiel (tous les vecteurs ne sont pas comparables ⇔ h non injective). Sur ce principe, de nombreux ordres peuvent être construits. Nous ne présenterons ci-dessous que l'un d'entre eux.
Ordre par mesure
d'une distance
Très utilisée, cette technique repose sur la définition d’une distance dist(X,Y) entre deux pixels couleur. N'importe quelle famille {Xj} de pixels couleur peut alors être ordonnée de la manière suivante :
Selon la distance utilisée, de nombreux filtres ont été proposés dans la littérature. L'ordre ainsi obtenu est un pré-ordre. Le filtre médian couleur est un des filtres basé sur cet ordre.
Techniques dans l'imagerie couleur du
filtre médian
Il existe deux techniques de filtres associés au filtre médian dans l'imagerie couleur. En effet, il y a le filtre médian marginal et le filtre médian vectoriel :
- Le filtre médian marginal : il permet d'appliquer un filtre médian séparément sur les 3 composantes colorimétrique d'un pixel.
- Le filtre médian vectoriel : il associe les valeurs d'un pixel à un vecteur et permet d'utiliser des traitements scalaires.
Nous vous invitons à parcourir notre site pour avoir plus d'informations concernant ces deux filtres.
